交点坐标怎样求：初二数学中的对称点难题解析
在初二数学进修中，求某点关于直线的对称点一个重要而常见的题型。今天我们将通过具体的例题，详细解析怎样求解交点坐标，帮助学生更好地掌握这一智慧点。
例题解析
考虑一条直线和坐标系上两个点A和B，已知点A的坐标为（0, 2），点B的坐标为（3, 4）。我们设定P为x轴上的一点。如果点B关于直线AP的对称点B’恰好落在x轴上，求点P的坐标。
解题思路
1. 设定对称点
设点B’的坐标为（x1, 0）。根据题目条件，点B与点B’关于直线AP对称。
2. 求交点坐标
由于B’的纵坐标为0，因此BB’连线与对称轴AP的交点的纵坐标可以用下面内容公式求得：
[
y = frac4 + 02 = 2
]
交点的横坐标则为：
[
x = fracx1 + 32
]
3. 利用已知条件
点A的坐标为（0, 2），由此可知交点的纵坐标与点A相同，因此可得：
[
fracx1 + 32 = 0
]
由此可以求得x1的值：
[
x1 + 3 = 0 implies x1 = -3
]
这样，点B’的坐标为（-3, 0）。
连接点与利用对称性质
4. 连接并延长
连接B和A并延长，与x轴交于点B’。接下来，我们需要从点B出发做一条垂直于x轴的线段BC，设BP的长度为x。
5. 运用轴对称性质
根据题目，B与B’关于线AP对称，因此 BP的长度也与B’P相等，即：
[
BP = B’P = x
]
6. 考虑其他已知量
已知B（3, 4）和B’（-3, 0），我们可以计算BC的长度：
[
BC = 4
]
连接OB，OB则与x轴平行，OC的长度为3，B’O的长度也为3。
7. 通过求解
根据这些已知的条件，我们可以得出：
[
B’C = B’O + OC = 6
]
而点P与点C的关系是：
[
CP = B’C – B’P = 6 – x
]
8. 使用勾股定理
利用勾股定理得出方程：
[
BP^2 = CP^2 + BC^2
]
将之前的量代入：
[
x^2 = (6 – x)^2 + 16
]
通过展开和化简上述方程，可以求得x的值：
[
x^2 = 36 – 12x + x^2 + 16 implies 12x = 52 implies x = frac133
]
9. 求得P的坐标
由于BP和B’P相等，即：
[
B’P = frac133
]
结合之前的已知条件，我们可以求得点P的横坐标：
[
-3 + frac133 = frac43
]
因此，点P的坐标为：
[
Pleft(frac43, 0right)
]
拓展资料
通过对称点的连线与对称轴的交点坐标之间的关系，我们找到了点B’的坐标，并利用轴对称的性质得到了等量关系，最后通过勾股定理求解得到了点P的坐标。掌握这些解题思路和技巧，将在今后的数学进修中受益匪浅。
此文不仅解答了怎样求交点坐标的难题，还为学生提供了解题的体系技巧。希望通过这样的解析，能帮助更多的初二学生提高他们的数学水平。
